D.4.4 Modèle de LEE-MORE

Ce modèle a été proposé afin de couvrir un domaine que le modèle de SPITZER ne couvrait pas -- les plasmas denses et éventuellement magnétisés -- en prolongeant le modèle de ZIMAN.

La distribution électronique $f$ (dans l'espace des phases $(\overrightarrow{r},\overrightarrow{v},t)$) retenue est solution de l'équation de Boltzmann:

$$\frac{d \, {f}}{d {t}} + \overrightarrow{v} \cdot \frac{d \... ...rrightarrow{v}}} = \frac{d \, {f}}{d {t}}\vert _{collisions}$$ (D.10)

Le terme de droite représente les interactions, parmis lesquelles on néglige les interactions électrons/électrons (ce qui risque de ne plus être acceptable pour des degrés d'ionisation trop faibles). L'approximation du temps de relaxation permet de simplifier ce terme en:

$$\frac{d \, {f}}{d {t}}\vert _{collisions} = - \frac{f-f_0}{\tau_c}$$

où $f_0$ représente une distribution de FERMI-DIRAC (état d'équilibre) et $\tau_c$ le temps de relaxation^D.17 dû aux collisions électrons/neutres et électrons/ions ( $\tau_{ei}={(n_i < v \sigma_{ei} >)^{-1}}$ par exemple, $< \sigma v >$ représentant le volume par unité de temps dans lequel ont lieu les collisions). La section efficace de collisions électrons/neutres est considérée comme étant constante et fait partie des paramètres du modèle.

Le libre parcours moyen utilisé est un modèle de BLOCH-GNÜNEISEN couplé à un modèle de fusion dérivé de la théorie de THOMAS-FERMI^D.18 (il s'agit alors d'une simplification de l'expression donnée en note 15).

Afin de calculer les sections efficaces, un modèle de collision coulombiennes est utilisé (voir l'exemple de la résistivité SPITZER en section D.3.1) ; ce modèle est simple et donne de bons résultats. Par contre un plasma dense étant en régime partiellement ionisé et partiellement dégénéré, les distances minimales d'approche et d'écrantages doivent prendre en compte de nouveaux phénomènes. L'écrantage retenu est un écrantage de DEBYE-HÜCKEL corrigé par un modèle de FERMI:

$$\frac{1}{\lambda_{DH}^2} = \frac{n_e e^2}{\varepsilon k \sqrt{T^2 + T_F^2}} + \frac{n_e {( Z e)}^2}{\varepsilon k T_i}$$ (D.11)

Le premier terme correspond à l'écrantage du potentiel par des électrons, en prenant en compte leur dégénérescence éventuelle ; le second terme apporte la contribution des ions à l'écrantage. De plus, on interdit à la distance d'écrantage d'être inférieure à la distance inter-atomique. La distance minimale d'approche quant à elle doit reflèter la nature quantique du plasma, donc on introduit le principe d'incertitude dans son calcul (évaluation faite à la vitesse thermique, voir en section D.3.1): le paramètre d'impact minimum est alors $\frac{\lambda}{2}$ avec $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2 m E}}$ soit

$$b_0 = \ensuremath \mathop{max}(\frac{Z e^2}{3 k T} \, , \, \frac{h}{2 \sqrt{3 m k T}})$$ (D.12)

La connaissance des bornes supérieures et inférieures du paramètre d'impact permet d'intégrer le logarithme coulombien, ce qui permet de calculer les sections efficaces d'interactions. D'après l'approximation du temps de relaxation précédemment faite, ceci permet de calculer le temps de relaxation dont dépendent les coefficients de transport $\sigma$ (conductivité électrique), $K$ (conductivité thermique) et $S$ (puissance thermo-électrique). Ceux-ci sont calculés en fonction de $\frac{\mu}{k T}$ ($\mu$ étant le potentiel chimique) et d'intégrales de FERMI-DIRAC^D.19. Ces intégrales sont alors tabulées pour êtres utilisées dans le modèle. Dans le cas non-dégénéré ( $\frac{\mu}{k T} \rightarrow \infty$), les coefficients calculés correspondent à la modélisation des électrons comme un gaz de LORENTZ effectué par SPITZER. La conductivité s'écrit alors sous la forme:

$$\eta = \mathop{\mathcal{A}}\Bigr( \frac{\mu}{kT}\, , \, \omega \tau \Bigl) \frac{m_e}{n_e e^2} \cdot \frac{1}{\tau}$$ (D.13)

Cette forme est très proche de la définition donnée par l'équation (D.1), avec $\mathop{\mathcal{A}}$ une fonction du potentiel chimique $\mu$ et de la magnétisation $\omega \tau$.

Les résistivités calculées sont applicables dans le domaine cinétique, mais aussi dans la partie supérieure du domaine corrélé. Ceci provient du fait que les distances minimales d'approche et d'écrantage ainsi que le libre parcours moyen sont décrits de façon plus fine que dans le modèle de SPITZER et prennent en compte les changements de régime (écrantage électronique et ionique, écrantage à la distance inter-atomique, libre parcours moyen du régime cinétique, libre parcours moyen en phase solide ou liquide). De plus, le modèle prend en compte des champs magnétiques arbitraires.

Notes

... relaxation^D.17

Ce temps de relaxation se voit attribuer une valeur minimale en dessous de laquelle il ne peut descendre, qui contient un paramètre devant être adapté. Dans les régimes voisins de la transition métal/isolant, cette valeur limite tend à jouer un rôle dominant sur la résistivité, ce qui signifie que le modèle sort de sa plage de validité.

...Thomas-Fermi^D.18

C'est à dire que les électrons d'énergie inférieure à l'énergie de Fermi sont considérés comme ne jouant aucun rôle ; ce qui signifie que la structure atomique de l'atome n'est pas prise en compte. Ainsi dans certains régimes, tels que la transition métal/isolant, l'ionisation est sur-estimée.

...Fermi-Dirac^D.19

Ces intégrales apparaissent naturellement dans les problèmes mettant en jeu des collisions coulombiennes.