D.1.1 Définition microscopique

Considérons des électrons plongés dans un champ électrique constant $\overrightarrow{E}$, sans agitation thermique mais capables d'entrer en collision avec un nombre égal d'ions^D.1, $n$.

Figure: fréquence de collision

Une certaine quantité de mouvement est échangée lors du choc (exprimée par unités de volume et de temps), on peut écrire le gain de quantité de mouvement $dP_{ei}$ des électrons en terme de fréquence de collision $\nu_{ei}=n \sigma v$ ($\sigma$ étant la section efficace de collision, qui se charge de faire la moyenne sur la quantité de mouvement échangée de façon à ce que les électrons qui entrent en collision fournissent l'intégralité de leur énergie à l'ion) :

$$\overrightarrow{dP_{ei}} = m_e n ( \overrightarrow{v_i} - \overrightarrow{v_e} ) \nu_{ei}$$

L'expression de $\overrightarrow{dP_{ie}}$ est très similaire, et du fait de la conservation de la quantité de mouvement, $\overrightarrow{dP_{ie}}+\overrightarrow{dP_{ei}} = \overrightarrow{0}$. Ceci peut aussi s'écrire sur la base d'un raisonnement physique : les collisions sont coulombiennes, donc $\overrightarrow{dP_{ei}}$ doit être proportionnel à $e^2$ pour des ions une fois chargés. De plus, cette quantité de mouvement doit être proportionnelle à la densité de centres diffuseurs $n_i$ et de `` projectiles '' $n_e$; avec $n_i = n_e$. Enfin, $\overrightarrow{dP_{ei}}$ doit être proportionnel à la vitesse relative des fluides ioniques et électroniques. Donc

$$\overrightarrow{dP_{ei}} = \eta e^2 n^2 ( \overrightarrow{v_i} - \overrightarrow{v_e} )$$

D'où l'on déduit l'expression de la constante de proportionnalité^D.2, c'est à dire la résistivité:

$$\eta = \frac{m \nu_{ei}}{ n e^2}$$ (D.1)

Notes

... d'ions^D.1

Le passage d'un courant électrique dans le plasma met uniquement en jeu les collisions entre particules d'espèces différentes. En effet, les collisions entre particules de même espèce (électrons/électrons ou ions/ions) ne conduisent pas à de la diffusion de charges électriques contrairement à celles entre espèces différentes : deux particules identiques se comportent de la même façon par rapport aux champs électromagnétiques (symétrie, le centre de masse ne se déplace pas), alors que deux particules de charges opposées ne le peuvent pas (le centre de masse se déplace du fait de la collision, voir [15] pour plus de précisions sur cette partie de la démonstration).

... proportionnalité^D.2

SPITZER conseille dans [89] d'utiliser cette expression comme définition de la résistivité.