D.3.1 Calcul de la fréquence de collision

Figure D.3: collision coulombienne

Lors d'une collision d'un électron sur un ion immobile (on fait l'hypothèse d'un gaz de Lorentz^D.7), une force coulombienne $F = - \frac{\bar{Z} e^2}{4 \pi \varepsilon r^2}$ dévie l'électron. Soit $p$ le paramètre d'impact, et $\theta$ l'angle de déviation (voir figure D.3). Calculons le paramètre d'impact critique, c'est à dire $p_0$ tel que $\theta = \frac{\pi}{2}$ : du fait de la forte déviation, il s'agit d'une collision proche, donc on peut considérer que la force coulombienne s'exerce pendant un temps $t \approx p_0 / v$ . Ceci modifie la quantité de mouvement de l'électron d'une quantité $\vert Ft\vert \approx \frac{\bar{Z} e^2}{4 \pi \varepsilon p_0 v}$, qui doit être de l'ordre de la quantité de mouvement $m v$ elle-même; donc

$$p_0 \approx \frac{\bar{Z} e^2}{4 \pi \varepsilon m v^2}$$

On a aussi la relation

$$\cot(\frac{\theta}{2}) = \frac{p}{p_0}$$

La section efficace différentielle de collision élastique est donnée par la formule de Rutherford :

$$\mathop{d\sigma}(\theta) = \frac{p_0^2}{4} \frac{1}{\sin(\frac{\theta}{2})}$$

Il suffit d'intégrer ceci sur l'angle solide $d \Omega = 2 \pi \sin(\theta) \, d \theta$ après l'avoir multiplié par $1-\cos(\theta)$ (qui représente la fraction de moment cinétique longitudinal échangé entre l'électron et l'ion) pour obtenir la section efficace de transfert de quantité de mouvement :

$$\begin{eqnarray*} \sigma & = & \int_{\theta_{min}}^{\pi} \mathop{d\sigma}(\thet... ...ox & 4 \pi p_0^2 \ln \Biggl( \frac{2}{\theta_{min}} \Biggr) \\ \end{eqnarray*}$$

On peut faire l'approximation que $\frac{\theta_{min}}{2} \approx \frac{p_0}{p_{max}}$, $p_{max}$ représentant le paramètre d'impact maximum au delà duquel l'électron n'est plus soumis à la force coulombienne crée par l'ion. Ce paramètre d'impact maximum est donc de l'ordre de la longueur de Debye lorsque le plasma est suffisamment dense (voir section C.4.6 page pour plus de précisions sur l'écrantage de Debye). La section efficace de transfert de quantité de mouvement est alors :

$$\sigma = 4 \pi p_0^2 \ln (\Lambda) \quad \mbox{avec} \quad \Lambda=\frac{\lambda_d}{p_0}$$

Ceci permet à l'aide de l'équation (D.1) et en sachant que $\nu_{ei}=n \sigma v$, d'exprimer la résistivité^D.8 SPITZER $\eta$ :

$$\eta = \frac{\pi e^2 m^{\frac{1}{2}}}{{(4 \pi \varepsilon)}... ...mbda) \quad \mbox{avec} \quad \Lambda=\frac{\lambda_d}{p_0}$$ (D.6)

Le logarithme coulombien $\ln (\Lambda)$ vaut en général entre 10 et 20^D.9.

Notes

... Lorentz^D.7

Un gaz de Lorentz est un gaz totalement ionisé, dans lequel les électrons n'interagissent pas entre eux mais uniquement avec des ions tous au repos.

... résistivité^D.8

Voir [89] pour plus de détails sur la démonstration

... 20^D.9

On peut retenir l'expression suivante pour la résistivité de SPITZER:

$$\eta = \frac{\pi e^2 \sqrt{m_e}}{{(4 \pi \varepsilon)}^2 {(k... ...varepsilon k T)}^{\frac{3}{2}}}{\bar{Z} e^3 \sqrt{n_e}} \Bigr)$$