D.4.2 Modèle de ZIMAN

Le modèle de ZIMAN décrit le matériau comme un milieu homogène (potentiel uniforme) renfermant des centres de diffraction sphériques, mutuellement impénétrables (c'est à dire sans recouvrement) et statistiquement distribués^D.12(c'est à dire que le système est désordonné, donc des interactions électrons/phonons ne peuvent pas être prises en compte). Cette distribution statistique rend possible la corrélation entre les positions de deux centres de diffraction par la fonction de corrélation^D.13 $\mathop{g_2}(\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2}) - 1$. Les collisions sont des collisions à deux corps, chaque électron interagissant avec un seul ion à la fois. De plus, ce modèle utilise l'approximation du libre parcours moyen, qui constiste à considérer que les électrons sont accélérés sur un libre parcours moyen $\Lambda$ (voir note 15) avant de subir une collision dissipant la totalité de leur énergie cinétique, puis ré-accélérés et ainsi de suite. Les électrons libres considérés comme responsables de la conduction sont les électrons de valence, les électrons de cur étant négligés. Enfin, la force résultant de l'application d'un champ électrique à ce modèle est linéarisée en fonction de la densité de courant et identifiée à $q\overrightarrow{E}$. On suppose alors implicitement que la diffraction d'un électron ne se fait que sur un centre de diffraction à la fois, ce qui n'est pas toujours justifié^D.14. La résitivité est alors calculée de la façon suivante (formulation matricielle par EVANS, voir [36]):

$$\eta = \underbrace{- \frac{1}{3 \pi \alpha} { \Bigl( \frac{... ...2 p} dq q^3 \mathop{S}(q) \mathop{\sigma_\varepsilon} (q)}_3$$ (D.8)

Le premier terme est lié à l'ionisation (électrons de valence), le second signifie que les électrons responsables de la conduction suivent une statistique de FERMI-DIRAC et le troisième terme représente les interactions entre électrons et centre diffuseurs^D.15. C'est ce dernier terme qui est à l'origine du logarithme coulombien, que le modèle de SPITZER évalue exactement mais dans une plage tronquée de façon à éviter sa divergence.

Dans cette expression, $\alpha \approx 1/137.03604$ est la constante de structure fine, $\Omega_0$ le volume atomique, $Z$ le degré d'ionisation , $\mathop{f}(\varepsilon)=(e^{\frac{\varepsilon-\mu}{kT}}+1)^{-1}$ la fonction de distribution de FERMI-DIRAC, $\varepsilon$ l'énergie, $\mu$ le potentiel chimique, $\mathop{\sigma_\varepsilon} (q)$ la section efficace d'interaction électrons-ions et $p$ la quantité de mouvement. $\mathop{S}(q)$ étant le facteur de structure (voir l'explication en note 13). Cette grandeur est donc représentative du potentiel établi par les centres diffuseurs (voir section D.2.1).

Les interactions électrons-ions sont traitées comme des collisions à deux corps, ce qui limite la plage de validité de ce modèle. De plus, cette expression est explicitement non relativiste, donc à priori non applicable aux électrons de trop grande énergie. Les paramètres devant être tabulés sont la section efficace $\sigma_\varepsilon$, la densité d'électrons libres $Z/\Omega_0$, ainsi que des modèles de facteurs de structure décrivant les corrélations ions/ions. C'est pourquoi ce modèle est particulièrement approprié pour les métaux liquides, matériaux pour lesquels de telles données sont connues précisément^D.16.

Notes

... distribué^D.12

Ce modèle est défini pour un liquide, et c'est uniquement par extrapolation qu'il est utilisé pour un plasma.

... corrélation^D.13

En fait, il s'agit d'un abus de langage : on devrait plutôt parler de fonction de paire, la fonction de corrélation étant la fonction $\mathcal{C}$ (il est vrai, basée sur la fonction de paire) telle que le facteur de structure $\mathop{S}(q)=(\mathcal{I} - \mathop{\mathcal{C}}(q))^{-1}$ avec $\mathcal{I}$ la matrice identité. La fonction de paire est représentative du potentiel établi par les centres diffuseurs (voir section D.2.1), et permet de calculer la fonction de corrélation dont le facteur de structure est la transformée de Fourrier.

... justifié^D.14

Dans le cas d'un plasma trop fortement corrélé, cette approximation n'est plus valable.

... diffuseurs^D.15

Celles-ci sont représentées par le libre parcours moyen qui dépend de l'ordre de grandeur de la distance ionique calculée à partir du facteur de structure $\mathop{S}(q)$ (évidemment, ces interactions sont pondérées par la section efficace $\mathop{\sigma_\varepsilon}$). D'après la théorie de ZIMAN, le libre parcours moyen s'exprime:

$$\frac{1}{\Lambda} = n_i \int \frac{d \, {\mathop{\sigma}(\theta)}}{d {\Omega}} \mathop{S}(q) (1-\cos(\theta)) \, d\Omega$$

avec $\theta$ l'angle de diffraction et $\frac{d \, {\sigma}}{d {\Omega}}$ la section efficace différentielle (voir [98]).

... précisément^D.16

De plus, un métal liquide présente une densité assez élevée, donc les interactions sont le plus fréquemment à courte distance, ce qui se traduit par des interactions plutôt à deux corps. En effet, dans le cas d'une interaction à courte distance, du fait de la forme du potentiel coulombien (en $1/r^2$), l'influence des autres corps est très réduite par rapport à l'intensité de la force qui s'exerce entre les deux corps les plus proches.