C.4.14 Nombre de HARTMAN

Figure: écoulement de HARTMAN

Pour traiter le problème illustré par la figure C.8, réécrivons l'équation (C.12) sous la forme suivante :

$$\rho \Biggl( \frac{\partial}{\partial t} + \overrightarrow... ...row{j} \wedge \overrightarrow{B} + \rho_e \overrightarrow{E}$$

Le terme $\overrightarrow{F}$ représentant la somme de toutes les forces non électromagnétiques. Dans l'approximation MHD , on suppose que le plasma est globalement neutre, donc $\rho_e=0$. De la même façon, réécrivons et simplifions l'équation (C.6) sous la forme

$$\overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{j}}{\sigma} - \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{B}$$

Ceci permet alors d'écrire

$$\rho \Biggl( \frac{\partial}{\partial t} + \overrightarrow... ...w{v} \wedge \overrightarrow{B} ) \wedge \overrightarrow{B} )$$

D'après la section C.4.4, on a :

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{E} \wedge \overrightarrow{B} & = & \overrigh... ...\wedge \overrightarrow{B} & = & - \overrightarrow{v} \cdot B^2 \end{eqnarray*}$$

Donc l'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrit

$$\rho \Biggl( \frac{\partial}{\partial t} + \overrightarrow... ...} - \sigma B^2 ( \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_D} )$$

Le terme $- \sigma B^2 ( \overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_D} )$ décrit l'interaction entre un fluide se déplaçant à la vitesse $\overrightarrow{v_D}$ (vitesse de dérive cyclotron) et un fluide se déplaçant à la vitesse $\overrightarrow{v}$. Un cas très proche a été traité en section , sous la forme de deux strates de fluide à des vitesses différentes. Il s'agit donc d'une force de viscosité magnétique^C.33 de coefficient $\sigma B^2$. Étant donné le coefficient de viscosité dynamique d'un fluide, noté $\mu$ (par unité de surface), il est intéressant de comparer ces deux effets entre eux. Si $L$ est une grandeur caractéristique du problème (donc $L^2$ est une surface caractéristique), alors on définit le ratio entre la viscosité magnétique et la viscosité du fluide par le nombre de Hartman^C.34 :

$${Ha}^2 = \sigma {B_{\perp}}^2 \cdot \frac{L^2}{\mu}$$ (C.32)

$\mu$ étant la viscosité dynamique et $B_{\perp}$ le champ magnétique dans le plan perpendiculaire au mouvement. En fonction du nombre de Hartman, l'écoulement aura un profil de vitesse bien particulier (voir figure C.9 et figure C.10 les évaluations faites avec une condition de vitesse nulle aux bords ; des champs électriques et une hauteur normalisée). L'ouvrage [56] développe les caractéristiques de ces courbes, ainsi que [71] qui introduit le nombre de Hartman dans le contexte plus général des nombres sans dimension de l'hydrodynamique.

Figure: profil de vitesse d'un écoulement de HARTMAN

Figure: profil de champ magnétique longitudinal d'un écoulement de HARTMAN

Notes

...viscosité!magnétique^C.33

Il est possible aussi de considérer que les lignes de champ magnétique perpendiculaires à la direction du mouvement sont partiellement gelées dans le plasma, donc le mouvement de ce dernier est freiné par une force dissipative dépendant de la vitesse.

... Hartman^C.34

Ce nombre est parfois appelé nombre de Chandrasekhar.