C.3.2 Force de frottement visqueux

Une force de viscosité est une force le plus souvent de cisaillement s'exerçant à l'intérieur d'un fluide. Utilisons un modèle de fluide sous forme de `` strates `` solides, modélisant un fluide incompressible. Dans ce cas, la force exercée à la surface de contact entre deux strates s'écrit^C.12 :

$$\overrightarrow{F} = \rho \nu S \mathop{\overrightarrow{grad}}({v})$$

Dans le cas d'un mouvement purement monodimensionnel, cette formulation est satisfaisante. Par contre dans le cas d'un mouvement plus complexe, il se peut qu'il y ait un gradient de vitesse sans pour autant qu'il y ait de force de frottements visqueux (cas illustré par la figure C.4). Dans ce cas, il est nécessaire d'utiliser une expression sous forme de laplacien de la vitesse :

$$\overrightarrow{F} = \rho \nu S \mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{v}})$$ (C.10)

Figure: force de viscosité

Il faut tout de même garder à l'esprit que la forme de cette force de viscosité varie en fonction du modèle utilisé. Pour évaluer la viscosité d'un liquide ou d'un gaz, se reporter à [22, chapitre 1]. Il est de la même façon possible de définir une viscosité pour un plasma, en considérant le plasma comme un gaz de particules ayant des vitesses différentes en fonction de leur position (stratification). Ainsi, si le gradient de vitesse est dirigé selon $z$, des particules de faible vitesse vont se déplacer vers les endroits où les particules ont des vitesses supérieures (et inversement pour les particules de vitesse élevée), entrer en collision avec des particules de vitesse différente, et de cette façon changer la vitesse moyenne de cette couche de plasma. Ceci est présenté dans [11] ; SPITZER dans [89] en extrait une expression facilement utilisable pour un plasma totalement ionisé et en l'absence de champ magnétique :

$$\mu = \alpha \frac{\sqrt{m_i} \cdot {(kT)}^{\frac{5}{2}}}{... ....012 \cdot {10}^{-21} \, \mathrm{\frac{s^4 C^4}{{kg}^2 m^6}}$$

Le logarithme coulombien $\ln{\Lambda_{ii}}=\ln{\frac{\lambda_d}{p_0}}$ se calcule comme rappelé en section D.3 page , avec $p_0$ la longueur de Landau pour les ions $\lambda_l=\frac{Z^2 e^2}{4 \pi k T}$ et $\lambda_d$ la longueur de Debye (voir sections C.4.3 et C.4.6). À titre de comparaison voir les coefficients de viscosité pour divers matériaux de la table C.1 (données issues de [34] et [57]). Un calcul plus poussé pour un plasma multi-ionique est développé dans [37].

Tableau: coefficients typiques de viscosité

matériaux	viscosité
	$\, \mathrm{(P)}$
verre en fusion	${10}^3$
huile d'olive à $20 \, \mathrm{\ensuremath \mbox{°}C}$	$0.84$
mercure à $20 \, \mathrm{\ensuremath \mbox{°}C}$	$0.015$
eau à $20 \, \mathrm{\ensuremath \mbox{°}C}$	$0.010$
vapeur à $100 \, \mathrm{\ensuremath \mbox{°}C}$	$1.3 \cdot {10}^{-4}$
air à $0 \, \mathrm{\ensuremath \mbox{°}C}$	$1.7 \cdot {10}^{-4}$
hydrogène	$8.82 \cdot {10}^{-5}$

Notes

... s'écrit^C.12

$\rho$ étant la densité du fluide, $\nu$ la viscosité cinétique, $S$ la surface et $\overrightarrow{v}$ la vitesse du fluide. On définit la viscosité cinétique $\nu$ d'un fluide à partir de sa viscosité dynamique $\mu$ par la relation $\nu=\mu/\rho$