C.2 Équations de MAXWELL pour la MHD

On se place dans l'approximation d'un fluide continu, conducteur électrique, pour lequel le courant de déplacement est négligeable (donc pas d'accumulation de charges électriques, c'est à dire dans l'hypothèse de la quasi-neutralité électrique : ce qui se traduit par $\rho = \rho_e + \rho_i = 0$).On a alors :

$$\begin{eqnarray*} \mathop{div}(\overrightarrow{{D}}) & = & \rho\\ \mathop{d... ...& \overrightarrow{J} + \frac{d \, {\overrightarrow{D}}}{d {t}} \end{eqnarray*}$$

Nous nous plaçons dans le cas d'un matériau quelconque où nous avons les relations^C.3:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{J_c} & = ... ... & \frac{1}{\mu} \overrightarrow{B} \end{array} \right.$$

On écrira donc généralement ceci sous la forme :

$$\mathop{div}(\overrightarrow{{E}}) = \frac{\rho}{\varepsilon} \approx 0$$ (C.1)

$$\mathop{div}(\overrightarrow{{B}}) = 0$$ (C.2)

$$\mathop{\overrightarrow{rot}}(\overrightarrow{{E}}) = - \frac{\partial \, \overrightarrow{B}}{\partial t}$$ (C.3)

$$\mathop{\overrightarrow{rot}}(\overrightarrow{{B}}) = \mu \overrightarrow{j} + \mu \varepsilon \frac{\partial \, \overrightarrow{E}}{\partial t} \approx \mu \overrightarrow{j}$$ (C.4)

Cet ensemble d'équations constitue les équations de Maxwell^C.4. Fréquemment en MHD , on néglige le courant de déplacement $\overrightarrow{j_D} = \varepsilon \frac{\partial \, \overrightarrow{E}}{\partial t}$ devant le courant de conduction $\overrightarrow{j} \approx \overrightarrow{j_e} = n_e q_e \overrightarrow{v_e}$ (voir équation D.2 page avec $v_i \ll v_e$).

Notes

... relations^C.3

$\sigma$ étant la conductivité, $\varepsilon$ étant la permitivité magnétique et $\mu$ étant la perméabilitémagnétique du matériau

... Maxwell^C.4

En combinant l'équation (C.1) avec la divergence de l'équation (C.4) pour laquelle on ne néglige pas le courant de déplacement, on obtient l'équation de continuité pour la densité de charges :

$$\frac{d \, {\rho}}{d {t}} + \mathop{div}(\overrightarrow{{j}}) = 0$$