C.1.2 Dérivée particulaire

Considérons un fluide composé de particules, par exemple une rivière. Si l'on s'intéresse à la vitesse d'une de ces particules, elle doit dépendre du temps (évolution du débit de la rivière dans le temps), ainsi que de la position de la particule (prèsence d'un rapide par exemple). Si l'on cherche l'accélération, on aura donc :

$$d \, \overrightarrow{v} = \frac{\partial \, \overrightarrow... ... z} dz + \frac{\partial \, \overrightarrow{v}}{\partial t} dt$$

soit :

$$\frac{\mathcal{D} \, \overrightarrow{v}}{\mathcal{D}t} = \B... ...tarrow{v} + \frac{\partial \, \overrightarrow{v}}{\partial t}$$

Le premier terme représente l'accélération de la particule dans le référentiel absolu, le terme $\overrightarrow{v} \cdot \mathop{\overrightarrow{grad}}({v})$ représente l'accélération vue par la particule du fait de son déplacement dans le champ de vitesses, et le terme $\frac{\partial \, \overrightarrow{v}}{\partial t}$ représente la variation de vitesse au cours du temps en un point fixe de l'espace (il s'agit donc de l'altération du champ de vitesses au cours du temps). La dérivée particulaire d'une grandeur $\overrightarrow{A}$ s'écrit donc :

$$\frac{\mathcal{D} \, \overrightarrow{A}}{\mathcal{D}t} = \B... ...tarrow{A} + \frac{\partial \, \overrightarrow{A}}{\partial t}$$