D.2.1 Modèle d'atomes dans un métal

Dans un domaine de densités et de températures allant des conditions ambiantes à une dizaine de milliers de Kelvins et quelques mégabars, on peut décrire le métal comme un potentiel périodique constitué par des ions fixes et régulièrement espacés. Chaque ion peut osciller autour de sa position d'équilibre, définie par un potentiel (négatif) $W_p$, à une fréquence $\nu$. Habituellement, le potentiel $W_p$ vaut entre $50$ et $70$ $\%$ de l'énergie de liaison de l'ion $W_b$ (voir figure D.2 et [60]).

Figure: potentiel périodique dans un métal

Les propriétés physiques du métal dépendent alors des modes oscillatoires accessibles au système : le modèle d'EINSTEIN suppose que la fonction de distribution des modes est telle qu'il n'y ait qu'une seule fréquence $\nu_0$ pour toutes les oscillations. Un ion de masse $m_i$ en oscillation harmonique soumis à une force de rappel $b \cdot x$ oscille donc à une fréquence

$$\nu = \sqrt{\frac{b}{4 \pi^2 m_i}}$$

L'énergie cinétique moyenne par degré de liberté est $\frac{1}{2} b <x^2>=\frac{1}{2} k T$. Les oscillations peuvent être considérées comme étant harmoniques tant que l'énergie vibratoire $W_M=k T$ est très faible devant l'énergie potentielle $W_p$. Lorsque la température augmente, ces deux énergies deviennent comparables et l'oscillation cesse d'être harmonique. Lorsque l'énergie vibratoire est supérieure au potentiel $W_p$, les ions peuvent se déplacer d'un puits de potentiel à un autre au sein de la maille. Si la température augmente encore, les ions deviennent totalement libres, leur énergie moyenne par degré de liberté étant $\frac{1}{2} k T$. Étant donné les grandes valeurs des énergies de Fermi pour les métaux usuels (quelques $\, \mathrm{eV}$), les électrons de conduction d'un métal forment, pour un matériau à l'état solide, un gaz de fermi dégénéré. Il faudrait ajouter à ce modèle simple de métal un gaz d'électrons capable d'interagir avec le potentiel périodique établi par les ions (modèles de BLOCH, SOMMERFELD...). Cette interaction est traitée par des modèles de FERMI-DIRAC, THOMAS-FERMI...Un développement plus en profondeur d'un modèle de métal est réalisé dans [35, Complément VI.A] ainsi que dans [59].