C.4.10 Vitesse sonore dans un plasma

Étant donné la différence de masse entre les électrons et les ions, une onde sonore se propage dans un plasma sous la forme d'une onde ionique. On peut alors faire l'approximation que les électrons sont toujours suffisamment rapides pour se réorganiser et assurer la quasi neutralité avec $n_e = Z n_i$. Le modèle présenté ici suppose que l'onde sonore déplace les ions sur un petit élément de longueur, à une vitesse dépendante de la force de rappel exercée par les électrons. Nous allons donc résoudre la vitesse de cette onde dans un cas 1D ^C.31. L'équation du mouvement pour les ions (voir C.4.9.1 pour le terme de pression appliqué aux ions^C.32)

$$\begin{eqnarray*} n_i m_i \Biggl( \frac{\partial}{\partial t} + \overrightarro... ...{\Phi}) - \gamma k_B T_i \mathop{\overrightarrow{grad}}({n_i}) \end{eqnarray*}$$

linéarisée au premier ordre et en ondes planes devient ($\gamma$ représente le nombre de degrés de liberté des ions):

$$n_{i0} m_i \omega i \tilde{v_i} = i k n_{i0} Z e \tilde{\Phi} + k i \gamma k_B T_i \tilde{n_i}$$

Si l'on considère que la distribution des électrons influence directement celle des ions, alors

$$n_e = n_{e0} e^{\frac{e \Phi}{k_B T_e}} = Z n_i$$

Linéarisée au premier ordre, celle-ci permet d'obtenir

$$\begin{eqnarray*} \Phi & = & \Phi_0 + \tilde{\Phi} \\ & = & \frac{k_B T_e}{... ...\ & = & \frac{k_B T_e}{e} \Bigl(\frac{n_i}{n_{i0}-1} \Bigr) \end{eqnarray*}$$

Enfin, à partir de l'équation de la continuité de la charge pour les ions

$$\frac{\partial \, {\rho_i}}{\partial {t}} + \mathop{div}(\... ...overrightarrow{v_i} \quad \mbox{et} \quad \rho_i = n_i q_i$$

que l'on linéarise au premier ordre en ondes planes, on obtient

$$\frac{n_{i0}}{\tilde{n_i}} \tilde{v_i} = \frac{\omega}{k}$$

En replaçant tout ceci (avec $\Phi \approx \Phi_0$) dans l'équation de la conservation du mouvement pour les ions, on a la vitesse sonore

$$\frac{\omega}{k} = C_s = \sqrt{\frac{Z k_B T_e + \gamma k_B T_i}{m_i}}$$ (C.28)

Notes

... 1D^C.31

Voir les sections C.4.5.1 pour la linéarisation et C.4.8 pour le traitement en ondes planes.

... ions^C.32

Seule la pression ionique est prise en compte, car on suppose que la vitesse caractéristique des électrons est très supérieure à celle des ions, donc les électrons ont le temps de se réorganiser en annulant le gradient de pression.