C.4.8 Vitesse d'ALFVÉN

Figure: onde d'ALFVÉN

Considérons un plasma comme un fluide non visqueux, compressible et conducteur idéal plongé dans un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B_0}$. Les équations décrivant ceci sont :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathop{div}(\overrightarro... ...htarrow{j} \wedge \overrightarrow{B} \end{array} \right.$$

Ce qui, pour un gaz parfait se ramène à^C.29 :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial \, {\rho}}{\... ... {\overrightarrow{B}}}{\partial {t}} \end{array} \right.$$

En linéarisant ceci au premier ordre sous la forme de petites perturbations autour d'un état d'équilibre, avec :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{v} & = & \o... ...ghtarrow{B_0} + \overrightarrow{B_1} \end{array} \right.$$

On obtient alors :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \frac{\partial \, {\overrig... ...div}(\overrightarrow{{v_1}}) & = & 0 \end{array} \right.$$

On cherche alors une solution de ce système sous la forme d'onde plane, telle que $\overrightarrow{B_0}$ et $\overrightarrow{k}$ soient dirigés selon l'axe $\overrightarrow{z}$, et que $\overrightarrow{B_1}$ et $\overrightarrow{v_1}$ (c'est à dire la perturbation) soient dirigés selon l'axe $\overrightarrow{y}$ (voir figure C.6). On suppose donc que

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{B_1} & = & \overrightarrow{B} e^{i (k z - \o... ...ightarrow{v_1} & = & \overrightarrow{v} e^{i (k z - \omega t)} \end{eqnarray*}$$

On obtient alors le système suivant (projeté sur l'axe $\overrightarrow{y}$) :

$$\left\{ \begin{array}{rcl} - i \omega B_1 + i k v_1 B_... ...frac{B_0}{\mu} ( - i k B_1 ) & = & 0 \end{array} \right.$$

Ceci décrit donc une onde se propageant parallèlement à $\overrightarrow{B_0}$ de vitesse de phase ( $\frac{\omega}{k}$) :

$$v_A = \frac{B_0}{\sqrt{\mu \rho_0}}$$ (C.25)

Cette onde est une onde plane (pas de variation spatiale de la densité autre que dans la direction de la perturbation) magnétohydrodynamique (elle existe de part la présence d'un champ magnétique et grâce aux propriétés hydrodynamiques du plasma) ; c'est l'onde d'Alfvén. On peut s'imaginer les lignes de forces magnétiques comme les cordes d'une guitare, et l'onde d'Alfvén comme l'onde que crée le musicien en écartant transversalement la corde de sa position d'équilibre. Cette onde rend possible la propagation d'un champ magnétique dans un matériau conducteur, quelle que soit sa conductivité. Un champ magnétique peut donc soit diffuser, en étant alors fortement atténué dans le cas d'un milieu peu diffusif, soit se propager par une onde d'Alfvén, qui lui permet d'être peu atténué ; ce mode de propagation n'étant rendu possible que par le couplage entre la matière et le champ magnétique.

Notes

... à^C.29

On rappelle que l'équation d'état d'un gaz parfait s'écrit $PV=nkT$ ($n$ étant le nombre de particules présentes) ; c'est à dire que pour une masse de gaz $\rho V$ de particules de masse $A/\mathcal{N}$ ($A$ étant la masse atomique de l'élément considéré et $\mathcal{N}$ le nombre d'Avogadro) l'équation d'état s'écrit $P=\rho s^2$ avec $s = \sqrt{\frac{\mathcal{N}}{A} k T}$ une vitesse thermique des particules composant le gaz.