C.4.9.1 Détermination d'une relation entre $P$ et $\rho$

L'équation de l'énergie $dE=dQ+dW$ (voir (C.13)) s'écrit, si la propagation de la perturbation de densité est adiabatique^C.30 :

$$\frac{d \, {E_i}}{d {t}} = - P \frac{d \, {V}}{d {t}}$$

Or dans le cas d'un gaz parfait de $N$ particules dans un volume $V$,

$$\left\{ \begin{array}{rcl} d \, E_i & = & C_v \cdot d \, T \\ P & = & \frac{N}{V} k T \end{array} \right.$$

Par définition, $C_p = C_v + N k$ et $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$. Donc l'équation de l'énergie devient

$$\frac{d\, T}{T} + ( \gamma -1 ) \frac{d\, V}{V} = 0$$

ce qui s'intègre en

$$T \propto V^{1-\gamma} \quad \mbox{soit} \quad P \propto V^{-\gamma} \propto \rho^{\gamma}$$ (C.26)

Ceci signifie que $\mathop{\overrightarrow{grad}}({P}) = \gamma \frac{P}{\rho} \mathop{\overrightarrow{grad}}({\rho})$

Notes

... adiabatique^C.30

Une onde sonore se propage suffisamment vite dans le milieu pour que les échanges d'énergie n'aient pas le temps d'avoir lieu ; la compression/détente est alors adiabatique ($\delta Q = 0$, $Q$ étant la quantité de chaleur).