C.3.5 Équation thermique

Si l'on note $\Delta E_{int.}$ l'énergie interne d'un élément de volume de plasma $dV$ et $\Delta E_c$ son énergie cinétique, le bilan énergétique s'écrit^C.13 $\Delta Q+\Delta W=\Delta E_{int.} + \Delta E_c$. Du point de vue des électrons, l'énergie peut être échangée via différents moyens (les quantités d'énergie sont exprimées localement et pour un volume $dV$ de hauteur $h$, de longueur $p$ et d'épaisseur $\delta$):

1. par les champs électromagnétiques. Ceci s'écrit $P_{em}=U \cdot I=\overrightarrow{j} \delta p \cdot \overrightarrow{E} h = \overrightarrow{j} \cdot \overrightarrow{E} dV$. Ensuite, on détaillera ceci en utilisant une loi d'Ohm^C.14.
2. par les photons sous la forme de rayonnement. On notera $P_{rad.}=\Phi_{eR} dV$.
3. par le travail des forces s'exerçant sur le petit élément de fluide. On ne retiendra que le travail des forces de pression, défini par $E_{hyd.}=-P \cdot dV$. La puissance apportée par les forces de pression se calcule donc à partir de la dérivée de cette énergie. Mais il faut remarquer qu'une variation de pression ne produit pas de travail^C.15: c'est uniquement la variation du volume qui contribue au travail des forces de pression. Ainsi $P_{hyd.}=-P \cdot dV/dt$. Si l'on raisonne en une dimension, le coté ayant une vitesse $\overrightarrow{v}$ par rapport au reste de l'élément de volume $dV$ apporte une contribution $\delta \, dV = (\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{n}) dt$ ( $\overrightarrow{n}$ étant la normale à la surface). Pour un élément de volume tridimensionel, il suffit alors d'ajouter les contributions des différentes faces, c'est à dire d'intégrer cette quantité $\delta \, dV$ sur l'élément de surface $dS$ du volume $dV$. Ceci représente alors une divergence (voir C.1.1.2), donc on à: $P_{hyd.}=-P \mathop{div}(\overrightarrow{{v}}) dV$.
4. par des processus de conduction de la chaleur (collisions entre particules de même nature). La puissance conduite s'exprime habituellement sous la forme $P_{cond} = \lambda \mathcal{S} \mathop{grad}(T)$ ; $\lambda$ étant le coefficient de conductibilité thermique. Étant donné que l'on raisonne localement, il faut intégrer ce flux d'énergie sur l'ensemble de la surface de l'élément de volume (l'énergie est conduite via toute la surface de l'élément) ; ce qui revient à $P_{cond} = \mathop{div} (\lambda_e \mathop{grad}(T)) dV$.
5. par les collisions microscopiques entre particules de nature différente. Il s'agit du chauffage d'un gaz de particules $\mathcal{A}$ par un gaz de particules $\mathcal{B}$. En raisonnant à volume constant, la variation d'énergie produite par une variation de température s'écrit: $E = m C_v dT$. Si l'on considère que les électrons passent de la température $T_e$ à la température $T_i$ en un temps $\tau_{ei}$, alors la puissance échangée s'écrit: $P_{coll} = \rho dV \cdot C_{ve} \frac{T_i -T_e}{\tau_{ei}}$.

Utilisons la loi d'Ohm généralisée (C.6) pour $\overrightarrow{E}$, en remarquant que $\overrightarrow{j} \cdot (\overrightarrow{v_e} \wedge \overrightarrow{B}) = 0$ car $\overrightarrow{v_e} \propto \overrightarrow{j}$. Si l'on considère que les électrons n'ont pas de masse^C.16, l'énergie cinétique est nulle (ce qui est cohérent avec le fait que le terme en $\overrightarrow{v_e} \wedge \overrightarrow{B}$ n'apporte aucune contribution énergétique). La conservation de l'énergie s'écrit donc, pour les électrons:

$$\frac{1}{dV} \frac{\mathcal{D} \, E_{int.}}{\mathcal{D}t} = \frac{j^2}{\sigma} - \overrightarrow{j} \cdot \frac{\mathop{\over... ...ow{{v}}) + \mathop{div}(\lambda_e \mathop{\overrightarrow{grad}}({T_e})) \qquad$$

$$\qquad - \rho C_{ve} \frac{T_e - T_i}{\tau_{ei}}$$ (C.13)

Dans le cas où l'on utilise une viscosité numérique, on remplace la pression $P$ par le terme $(P+q)$, $q$ étant le terme dissipatif numérique (voir section H.1.7 page ). Pour les ions, on peut construire le même type d'équation, mais l'énergie cinétique sera prise en compte, le terme en $\overrightarrow{v_i} \wedge \overrightarrow{B}$ apportera une contribution et les termes de rayonnement et de chauffage ohmique^C.17 pourront être négligés.

Notes

... s'écrit^C.13

Avec $\Delta Q$ étant la quantité de chaleur échangée, et $\Delta W$ étant le travail échangé

... d'Ohm^C.14

Pour un pinch, c'est ce terme qui est la source d'énergie, les autres formes résultant de la transformation de l'énergie électrique.

... travail^C.15

Mais une variation d'énergie interne se traduit par une variation de pression: un plasma chauffé augmentera sa pression

... masse^C.16

Ceci permet de rester cohérent avec l'approximation que le courant est uniquement porté par les électrons: en effet, cette approximation suppose que les vitesses électroniques sont très grandes devant les vitesses ioniques, du fait de la très faible masse des électrons devant celle des ions.

... ohmique^C.17

Ceci revient à négliger le courant ionique.