1.4.2.1 Diffusion du flux magnétique dans les électrodes

Dans le cas de conducteurs plongés dans un champ magnétique suffisamment faible (champ limite noté $H_c$, voisin de $0.005 \, \mathrm{T}$ pour les métaux, ou bien voir le critère présenté en fin de section), la diffusion du champ magnétique peut être modélisée par une diffusion dans un matériau de résistivité constante. Les épaisseurs de peau usuelles et épaisseurs de peau du flux1.14 pour de tels conducteurs peuvent être représentées en fonction du temps sur des courbes adimensionnées. De telles courbes sont founies dans la section E.4 page [*] pour des profils habituels en HPP . Un telle courbe n'est pas réalisable pour la compression de flux, car les profils temporels de courants dépendent de la configuration du compresseur de flux. À titre d'exemple, la figure 2.17 représente les épaisseurs de peau calculées pour un conducteur de conductivité constante avec le courant amplifié du tir Z591 .

Figure: diffusion du champ magnétique $B_\theta $ dans un conducteur de conductivité constante, profils à différents instants pour la compression de flux du tir Z591
\rotatebox{-90}{\includegraphics[height=0.7\textwidth]{figures/diffusion_Z591.ps}}

Pour un conducteur non idéal, mais ne se vaporisant pas, sa diffusivité augmentant avec la température (voir section D.2.2 page [*]), le champ diffuse plus profondément que pour un conducteur idéal. Ceci est illustré par les profils avec chauffage du conducteur et sans chauffage de la courbe 2.18.

Figure: diffusion du champ magnétique dans un conducteur avec chauffage. Source: [64]
\rotatebox{-90}{\includegraphics[height=\textwidth]{figures/diff_eta_variable.ps}}

Si le conducteur est mis en plasma, il faut alors un modèle de résistivité adapté (voir section D.4.5 page [*]), une équation d'état et une simulation MHD devient nécessaire. Une telle étude est présentée dans la section F.1.2 page [*]. On peut construire un critère permettant de déterminer la nécessité de prise en compte de la diffusion de la façon suivante: modélisons le conducteur par un pavé d'épaisseur $\delta$, de largeur $p$ et de hauteur $h$ et de résistivité $\eta$, à la température initiale $T_i$. Ce pavé est

Figure: petit élément de conducteur parcouru par une densité de courant
\rotatebox{0}{\includegraphics[height=0.3\textwidth]{figures/element_resistif.ps}}

capable de conduire la chaleur (coefficient de conduction $\lambda$) vers un réservoir infini à la température $T_i$ via sa surface $p h$. Un courant $I$ est injecté sur la surface $\delta p$ (voir figure 2.19) pendant un temps $\tau$. Au bout de ce temps $\tau$, le pavé atteint la température $T_f$. Le critère consiste donc à évaluer cette température et à en déduire si une modélisation à résistivité constante est valable ou pas. L'énergie apportée par effet Joule est

\begin{displaymath}
\index{énergie!par effet Joule}
E_{Joule} = P_{Joule} \cdot \tau = \eta \frac{h}{\delta p} I^2 \cdot \tau
\end{displaymath}

L'énergie extraite par conduction thermique via une surface $\mathcal{S}$ est1.15

\begin{displaymath}
\index{équation!de conduction thermique}
E_{conduction} ...
...\lambda \cdot p l \cdot \frac{T_f
-T_i}{\delta} \cdot \tau
\end{displaymath}

Des valeurs de coefficient de conduction thermique pour des conducteurs usuels sont données, avec les densités, en table 2.2.

Tableau: coefficients de conduction thermique, capacité thermique spécifique, densité et résistivité de matériaux courants ([95] et [45])
matériau densité résistivité $\mathrm{\mathbf{\lambda}}$ $\mathrm{\mathbf{C_p}}$
  $\mathrm{kg/m^3}$ ${10}^{-8}\, \mathrm{\Omega m}$ $\mathrm{W/(m K)}$ $\mathrm{J/(kg K)}$
Cuivre $8940$ $1.712$ $401$ $385$
Aluminium $2702$ $2.709$ $237$ $897$
Acier Inox $7900$ $55$ $50$ $490$
Or $19310$ $2.255$ $318$ $129$
Tantale $16600$ $13.4$ $57$ $140$
Titane $4500$ $39$ $21.9$ $523$
Tungstène $19350$ $5.39$ $173$ $132$


Le gain d'énergie thermique d'un solide de volume $\delta p h$ de densité $\rho $ à pression constante est

\begin{displaymath}
\index{capacité!thermique spécifique}
E_{thermique} = C_p \rho (\delta p h) \cdot (T_f -T_i)
\end{displaymath}

Étant donné que l'on a $E_{Joule} = E_{conduction} + E_{thermique}$, ceci se traduit par
\begin{displaymath}
T_f - T_i = \frac{\eta I^2}{p^2 \Bigl( \lambda + C_p \frac{\rho \delta^2}{\tau} \Bigr)}
\end{displaymath} (1.4)

Si l'accroissement de température se traduit par une faible variation de résistivité (que l'on peut évaluer à l'aide de tables, de formules empiriques ...), alors le modèle de diffusion à résistivité constante est suffisant. En appliquant ceci au retour de courant d'ECF1 , avec $3 \, \mathrm{MA}$ à un rayon de $6 \, \mathrm{cm}$, on obtient pour l'acier une élévation de température de $25 \, \mathrm{K}$. Le modèle de diffusion à résistivité constante doit être valable. Par contre, à un rayon de $1 \, \mathrm{cm}$ avec un courant amplifié de $3 \, \mathrm{MA}$, l'élévation de température calculée est de $940 \, \mathrm{K}$, ce qui signifie que ce modèle simpliste n'est plus valable (en effet, le barreau central fond). Pour plus de précisions, notamment sur des modèles analytiques de diffusion dans un matériau avec prise en compte du chauffage, voir [68].

Notes

... peau1.14
Dans la section E.2.4 page [*], on définit l'épaisseur de peau du flux par la distance $\delta_{flux}$ jusqu'à laquelle il faut intégrer le champ pour que l'on ait

\begin{displaymath}
\frac{\Phi(0 \rightarrow \delta)}{\Phi(0 \rightarrow \infty)} = (1 - e^{-1})
\end{displaymath}

... est1.15
on fait l'approximation que le coefficient de conductibilité thermique est indépendant de la température et que la température $T_f$ est atteinte instantanément, laissant un temps $\tau$ pour la conduction.
Mathias.Bavay_at_ingenieurs-supelec.org - juillet 2002