H.1.4 Difficulté de la résolution de la convection

Lorsque l'on veut résoudre une équation telle que la loi de conservation de la masse pour un fluide ..., on doit résoudre une équation qui en 1D est de la forme^H.2 :

$$\frac{\partial \, {u}}{\partial {t}} = -v \frac{\partial \, {u}}{\partial {x}}$$

avec $u$ une fonction arbitraire des grandeurs temporelles et spatiales $t$ et $x$. Une méthode de résolution explicite conduirait à :

$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^{n}}{dt} = -v \frac{u_{j+1}^n - u_{j-1}^n}{2 dx}$$

soit, en regroupant les termes (ce qui permet de retrouver une forme habituelle pour un calcul explicite) :

$$u_j^{n+1} = u_j^n - \frac{v dt}{2 dx} \cdot ( u_{j+1}^n - u_{j-1}^n )$$

Supposons que $u$ varie selon $\mathop{u_j^n}(x,t)=\alpha e^{i(k j dx - w n dt)}$. Alors après simplification par $\mathop{u_j^n}(x,t)=\alpha e^{i(k j dx - w n dt)}$ (afin de connaître le taux d'amplification de $u$, il faut diviser $u_j^{n+1}$ par $u_j^n$) l'expression précédente s'écrit :

$$e^{-i w dt} = 1 - \frac{v dt}{2 dx} \cdot ( e^{i k dx} - e^{-i k dx} )$$

Ainsi, en un pas de temps, $u_j^n$ est multipliée par $g=1 - \frac{v dt}{2 dx} \cdot ( 2 i \sin ( k dx ) )$. Le taux d'amplification est alors :

$${\vert g\vert}^2 = 1 + {\Biggl( \frac{v dt}{dx} \Biggr)}^2 \cdot \sin^2 (k dx) > 1$$

Ceci signifie que la résolution de la convection par une méthode explicite est divergente. C'est pourquoi l'hydrodynamique est en général résolue de façon implicite par les codes MHD ^H.3 (voir en section H.1.6 pour ce que cela implique).

Notes

... forme^H.2

le cas 1D a été choisi pour des raisons de simplicité, le raisonnement qui va suivre est tout aussi valable dans d'autres dimensions.

... MHD^H.3

pour plus de précisions, et un exposé des autres méthodes numériques disponibles, on peut se réfèrer à [90]