H.1.3 Méthode implicite, explicite, semi-implicite

Il s'agit de méthodes de résolution d'équations différentielles de la forme :

$$\frac{\partial \, \mathop{F}}{\partial t} = \mathcal{A} \f... ...\partial \, \mathop{F}}{\partial x} + \mathcal{C} \mathop{F}$$

La méthode explicite calcule $\frac{\partial}{\partial t} \mathop{F}_{(x,t+\frac{\Delta t}{2})}$ en fonction de $\mathop{F}_{(x,t)}$ et aussi des termes $\mathop{F}_{(x-\Delta x,t)}$ et $\mathop{F}_{(x+\Delta x,t)}$. Il s'agit donc de l'évaluation de la dérivée à droite en $t$ et centrée en $x$. Cette méthode est rapide, mais instable si le pas de temps n'est pas suffisamment petit :

$$\Delta t \leq \frac{1}{\frac{2 \mathop{A_i}}{\Delta x^2} - \mathop{C_i}}$$

Sinon, une petite différence sur les conditions initiales risque de se traduire par une grande différence sur la solution approchée. La méthode implicite calcule $\frac{\partial}{\partial t} \mathop{F}_{(x,t+\frac{\Delta t}{2})}$ en fonction de $\mathop{F}_{(x,t+\Delta t)}$ mais aussi des termes $\mathop{F}_{(x-\Delta x,t+\Delta t)}$ et $\mathop{F}_{(x+\Delta x,t+\Delta t)}$. Cette méthode est lente (calcul matriciel), mais universellement stable (le facteur limitant de $\Delta t$ concerne les erreurs de troncature). Il s'agit alors de l'évaluation de la dérivée à gauche en $t$ et centrée en $x$. On fait alors la moyenne des deux évaluations à droite et à gauche en $t$ de $\frac{\partial}{\partial t} \mathop{F}_{(x,t+\Delta t)}$ , afin de calculer $\frac{\partial}{\partial t} \mathop{F}$ centré en $(x,t+\frac{\Delta t}{2})$. Cette méthode est la méthode de Crank-Nicholson, ou bien semi implicite (voir fig H.1, et référence [73]). Toutes ces méthodes peuvent en fait s'exprimer de façon unique en fonction d'un paramètre $\theta$ (c'est le paramètre d'implicité) qui désigne une méthode explicite ($\theta = 0$), implicite ($\theta = 1$) ou Cranck-Nicholson ( $\theta = \frac{1}{2}$).

Figure: méthodes explicites, implicites, semi-implicites