G.2.1 Dynamique individuelle d'un fil

Étant donné que le rayon des fils est très petit devant le gap entre fils^G.1, on peut considérer que la mise en plasma se fait avec des fils indépendents.

Figure: vitesse d'expansion de fils de différents matériaux, source [84]

Un fil parcouru par un courant explose, formant une couronne de plasma qui s'étend. Ceci peut être expliqué de la même façon que l'explosion d'électrode dans la section 2.4.2.1.2 page par la diffusivité d'un plasma froid. La vitesse d'expansion semble constante (voir des exemples de vitesses mesurées dans la table G.1 et le figure G.2 qui permet d'évaluer les rapports des vitesses d'expansions en fonction des matériaux constituants les fils^G.2.).

Tableau: vitesses d'expansion de fils explosés

source	vitesse	$\mathrm{\mathbf{I_{\frac{1}{4}}}}$	$\mathrm{\mathbf{T_{\frac{1}{4}}}}$	matériau	méthode
	$\, \mathrm{m/s}$	$kA$	$ns$
[83]	$10000$	$160$	$100$	W $5 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[83]	$8000$	$160$	$100$	W $13 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[83]	$9000$	$160$	$100$	W tous $\emptyset$	schlieren
[83]	$22000$	$160$	$100$	Al tous $\emptyset$	balayage de fente en optique
[83]	$24000$	$160$	$100$	Al tous $\emptyset$	schlieren
[9]	$10000$	$100$	$85$	C $7 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[9]	$10000$	$80$	$85$	Al $25 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[10]	$10000$	$150$	$100$	W $5 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[10]	$5000$	$150$	$100$	W $13 \, \mathrm{\mu m}$	balayage de fente en optique
[10]	$22000$	$150$	$100$	Al tous $\emptyset$	balayage de fente en optique

Pendant cette expansion, le champ magnétique global tend à compresser la couronne sur son axe. Ceci se traduit par l'équation du mouvement

$$M \ddot{r} = - \frac{\mu_0 I^2}{4 \pi r} \quad \mbox{avec} \quad M \mbox{ la masse par unité de longueur}$$

Pour des raisons de simplification, on suppose que le membre droit de cette équation vaut $-M \alpha^2 t^2$ (ce qui implique un courant linéairement croissant). La solution pour $r$ est donc:

$$r=r_0 \Bigl( 1 - \frac{t^4}{t_p^4} \Bigr) \quad \mbox{avec}... ...4= \frac{12 r_0}{\alpha^2} \quad \mbox{le temps d'implosion}$$ (G.1)

En supposant que la vitesse $v$ d'expansion du plasma créé par un fil est constante, alors les nuages de plasma issus des différents fils s'interpénetrent à un temps

$$t_m = \frac{\pi r_m}{n v} \quad n \mbox{ étant le nombre de fils}$$

et à un rayon

$$r_m = r_0 \Bigl( 1 - \frac{t_m^4}{t_p^4} \Bigr)$$ (G.2)

Ce qui signifie que l'on a

$$t_m = \frac{n_{crit}}{n} \Bigl( 1 - \frac{t_m^4}{t_p^4} \Bigr) t_p \quad \mbox{avec } \quad n_{crit}=\frac{\pi r_0}{v t_p}$$ (G.3)

$n_{crit}$ représente le nombre minimum de fils que doit comporter la couronne pour que la coquille se forme avant d'avoir trop implosée.

Notes

... fils^G.1

Compter de l'ordre de $10 \, \mathrm{\mu m}$ pour le diamétre des fils et entre $\frac{1}{2}$ et $1 \, \mathrm{mm}$ pour le gap

... fils^G.2

On rappelle que l'enthalpie d'atomisation représente l'énergie requise pour convertir totalement $1 \, \mathrm{mole}$ du matériau considéré en ses constituants atomiques à l'état gazeux.