E.2.3 Normalisation du problème

Reprenons l'équation de diffusion (E.9). Considèrons un signal de temps caractéristique $T_m$ et d'amplitude $A_0$ appliqué sur la surface de l'échantillon conducteur de diffusivité $\eta$. Le signal $\mathop{H}(x,t)=\beta A_0$ étant appliqué à la surface de l'échantillon, si l'on se place au temps $t=\alpha T_m$ et à la distance $x=\gamma \cdot \delta_{approx.}$, alors on peut ré-écrire l'équation sous la forme normalisée :

$$\frac{A_0}{T_m} \cdot \frac{\partial \, {\beta}}{\partial {... ....}}^2} \cdot \frac{\partial^2 \, \beta}{{\partial \gamma}^2}$$

Il faut que $\delta_{approx.}$ soit une longueur caractéristique du problème pour que la normalisation par celle-ci ait un sens physique. Prenons donc une approximation de l'épaisseur de peau en réponse à une rampe de courant à $t=T_m$ (voir [8]) $\delta_{approx.}=250 \sqrt{\frac{10 T_m}{\sigma}}$. Ceci permet alors d'écrire l'équation de la diffusion plane sous la forme^E.9 :

$$\frac{\partial \, {\beta}}{\partial {\alpha}} = \frac{1}{10... ...)}^2} \cdot \frac{\partial^2 \, \beta}{{\partial \gamma}^2}$$ (E.12)

L'équation (E.12) signifie donc que l'on peut définir une classe de problèmes ayant une même forme de signal appliqué à la surface du matériau au cours du temps, qui possédera une solution normalisée unique qu'il suffit ensuite de multiplier par les paramètres de la normalisation du problème précis que l'on souhaite résoudre. Par exemple, si l'on résout le profil spatial de champ magnétique pour un signal sinusoïdal de quart de période $200 \, \mathrm{ns}$ à $t=100 \, \mathrm{ns}$ dans du cuivre, il sera possible d'en déduire le même profil spatial pour un quart de période de $5 \, \mathrm{\mu s}$ dans du manganèse !

Notes

... forme^E.9

On rappelle que $\eta={(\mu \sigma)}^{-1}$