E.2.2.2 Résolution du plan de concentration initiale nulle soumis à un signal $\mathop {f}(t)$ sur les parois

Les conditions initiales doivent donc être les suivantes:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathop{H}(x,0) & = & 0 \\ \mathop{H}(0,t) & = & \mathop{f}(t) \end{array} \right.$$

D'après le théorème de DUHAMEL^E.8 (qui ne s'applique qu'aux problèmes linéaires car il est basé sur le principe de superposition):

Théorème de DUHAMEL _duhamel   Si $\mathop{C} = \mathop{F}(x,y,z,t)$ représente la température au point $(x,y,z)$ au moment $t$ dans un solide dans lequel la température initiale est $0$ tandis que la surface est maintenue à la température unité, alors la solution du problème pour lequel la température initiale est $0$ et la température à la surface est donnée par $\mathop{\phi}(t)$ est:

$$\mathop{C} = \int_0^t \mathop{\phi}(\lambda) \frac{\partial }{\partial t} \mathop{F}(x,y,z,t- \lambda) \, d\lambda$$

D'après le théorème de LEIBNIZ pour la dérivation d'une intégrale:

$$\mathop{\frac{d}{dc}} \int_{\mathop{a}(c)}^{\mathop{b}(c)} ... ...f}(b,c) \frac{d \, b}{dc} - \mathop{f}(a,c) \frac{d \, a}{dc}$$

En appliquant ce dernier à l'équation (E.10) avec

$$\begin{eqnarray*} \mathop{F}(x,t- \lambda) & = & \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{\fr... ...\pi \eta (t- \lambda)^3}} e^{- \frac{x^2}{4 \eta (t- \lambda)}} \end{eqnarray*}$$

on obtient:

$$\mathop{H}(x,t) = \frac{x}{2 \sqrt{\pi \eta}} \int_0^t \mat... ... \eta (t- \lambda)}}}{(t- \lambda)^{\frac{3}{2}}} \, d\lambda$$

En posant

$$\tau = \frac{x}{2 \sqrt{\eta (t- \lambda)}} \quad \Rightarr... ... = \frac{x}{4 \sqrt{\eta} (t-\tau)^{\frac{3}{2}}} \, d\lambda$$

la solution s'exprime sous la forme:

$$\mathop{H}(x,t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{\frac{x}{2 \sq... ...f}(t - \frac{x^2}{4 \eta \tau^2}) \cdot e^{- \tau^2} \, d\tau$$ (E.11)

Notes

... Duhamel^E.8

voir un ouvrage traitant des résolutions d'équations différentielles, tel que [1] ou bien [14]