E.2.2 Résolution plane de la diffusion du champ

Dans le cas plan, il est possible de transformer l'équation (E.8) en

$$\frac{\partial \, {H}}{\partial {t}} = \eta \frac{\partial^2 \, H}{\partial x^2}$$ (E.9)

Utilisons le changement de variables $\xi = \frac{x}{2 \sqrt{\eta t}}$. Ce choix peut être justifié plus ou moins physiquement: en effet, lors de la diffusion d'un champ dans un conducteur, ce champ doit s'affaiblir avec la profondeur de pénétration, mais il doit augmenter avec le temps. Toutefois, il est nécessaire que l'influence du temps soit moins forte que celle de la profondeur afin que $K(r \rightarrow \infty,t) = 0$ quel que soit $t$. Une analyse dimentionnelle permet de confirmer ceci et de choisir un champ sous la forme $K(\frac{x}{\sqrt{\eta t}})$. Le facteur $\frac{1}{2}$ n'est justifié que par des facilités de calcul. On en déduit

$$\begin{eqnarray*} \frac{\partial \, H}{\partial t} & = & \frac{d \, H}{d \xi} \... ...al \, \xi}{\partial x} \Bigr) ^2 \cdot \frac{d^2 \, H}{d \xi^2} \end{eqnarray*}$$

d'où

$$\frac{d \, H}{d \xi} \cdot \Bigl( \frac{-x}{2t\sqrt{\eta t}... ... = \eta \cdot \frac{1}{\eta t} \cdot \frac{d^2 \, H}{d \xi^2}$$

donc en simplifiant et en posant $K=\frac{d \, H}{d \xi}$, alors l'équation

$$\frac{dK}{d\xi} = - \frac{1}{2} \cdot \xi K$$

de solution

$$\mathop{K}(\xi) = K_0 \, e^{- \xi^2}$$

conduit à la solution générale pour $H$:

$$\mathop{H}(x,t) = C_0 + K_0 \int_0^{\frac{x}{2 \sqrt{\eta t}}} \, e^{- \xi^2} \, d\xi$$