E.2.2.1 résolution du plan de concentration initiale nulle soumis à un signal unité sur les parois

Dans ce cas particulier, on a les conditions initiales suivantes:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathop{H}(x,0) & = & 0 \\ \mathop{H}(0,t) & = & 1 \end{array} \right.$$

Les constantes valent donc

$$\begin{eqnarray*} C_0 & = & 1 \\ K_0 & = & - \frac{2}{\sqrt{\pi}} \end{eqnarray*}$$

car en $0$ la fonction erreur $\mathop{erf}(0)$ vaut

$$\int_0^\infty e^{-x^2} \, dx = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$$

Ceci peut aussi s'écrire sous la forme:

$$\mathop{H}(x,t) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{\frac{x}{2 \sqrt{\eta t}}}^\infty e^{- \xi^2} \, d\xi$$ (E.10)