C.4.6 Longueur de DEBYE

Supposons un plasma globalement neutre. On décrit ce plasma comme un gaz d'électrons à la température $T_e$ interagissant avec des ions sous forme de particules aléatoirement distribuées. Le nuage électronique supposé en équilibre thermodynamique suit la statistique de Boltzmann^C.21 :

$$n_e = n_0 e^{\frac{e \Phi}{k T_e}}$$ (C.19)

Cette statistique décrit le réarrangement des électrons en prèsence d'un potentiel $\Phi$ qui leur permet de `` lutter '' contre la force de répulsion coulombienne. Ainsi, dans le cas où le potentiel $\Phi$ augmente, l'influence de la répulsion coulombienne diminue, donc la densité augmente jusqu'à équilibrer ces deux potentiels ($\Phi$ et le potentiel d'interaction entre électrons). Si la température augmente, les électrons acquièrent une énergie thermique supérieure, donc sous l'effet de cette pression thermique, la densité diminue. Ce potentiel $\Phi$ peut ainsi être par exemple l'influence d'un ion, qui perturbe l'uniformité de la densité de charge électronique. Cet ion nouvellement introduit force les électrons dans une configuration différente, qui eux-mêmes en changeant leur disposition modifient le potentiel $\Phi$. Il faut alors introduire une équation supplémentaire, l'équation (C.1), appelée équation de Poisson. Elle décrit le potentiel créé par une certaine densité de charge : en effet, $\mathop{div}(\overrightarrow{{E}}) = - \mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{\Phi}}) = - \frac{\rho}{\varepsilon}$. Cet effet se combine alors avec la statistique de Boltzmann.

$$\mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{\Phi}}) = - \frac{\rho_e + \rho_i}{\varepsilon}$$

Étant donné que l'on considère un plasma globalement neutre (hypothèse de quasi neutralité) à l'équilibre, on a $n_{e0} = Z n_{i0}$, $Z$ étant le degré moyen d'ionisation des ions. Ceci s'écrit aussi $e n_{e0} = \rho_{e0} = \rho_{i0} = e Z n_{i0}$. Si l'on considère que les ions sont immobiles, alors $\rho_i = \rho_{i0} = -\rho_{e0}$ avec $\rho_{e0}$ représentant la densité de charge électronique en l'absence de potentiel (à $\Phi = 0$), d'où $\rho_i = e n_0$ et $\rho_e=e n_e$. Donc on a

$$\mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{\Phi}}) = - \frac{e n_0}{\varepsilon} \Biggl( e^{\frac{e \Phi}{k T_e}} - 1 \Biggr)$$

Dans l'hypothèse $\frac{e \Phi}{k T_e} \ll 1$, c'est à dire dans l'hypothèse où la perturbation crée par un ion est faible, on peut linéariser cette équation différentielle (développemente limité à l'ordre 1 : $e^x = 1 + x$) :

$$\mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{\Phi}}) = - \frac{n_0 e^2 }{\varepsilon k T_e} \cdot \Phi$$

Une solution de cette équation peut s'écrire (en 1D) sous la forme $\Phi = \Phi_0 e^{- \frac{x}{\lambda_d}}$ avec :

$$\lambda_d = \sqrt{\frac{\varepsilon k T_e}{n e^2}}$$ (C.20)

Cette grandeur $\lambda_d$ est la longueur de Debye, c'est la distance au bout de laquelle la perturbation dûe à la prèsence de l'ion est écrantée par les électrons. On considérera donc que pour une distance inférieure à $\lambda_d$, le potentiel vu est celui d'une charge nue, et que au delà, le potentiel n'est plus vu (écrantage). Lorsque les dimensions considérées sont supérieures à la longueur de Debye, on peut modéliser le plasma par un ensemble d'ions se déplaçant lentement et baignés par un fluide d'électrons^C.22. Une limitation de cette approche tient au nombre d'électrons présents dans la sphère de Debye^C.23 afin que l'écrantage puisse vraiment avoir lieu ; il faut donc :

$$n \frac{4}{3} \pi {\lambda_d}^3 \gg 1$$ (C.21)

En règle générale, on considérera que l'écrantage peut avoir lieu si la particule se déplace moins vite que celles qui seraient responsables de cet écrantage. Ainsi, dans certains cas il peut être nécessaire de prendre en compte la contribution des ions. Il s'agit alors d'un écrantage de DEBYE-HÜCKEL^C.24.

Notes

...Boltzmann!statistique^C.21

$n_e$ étant la densité électronique, $\Phi$ le potentiel électrostatique et $n_0$ la densité électronique quand $\Phi \longmapsto 0$

... d'électrons^C.22

Dans le cas contraire, le comportement individuel des électrons doit être pris en compte.

...Debye!sphère^C.23

C'est la sphère de rayon $\lambda_d$ centrée sur l'ion

... Debye-Hückel^C.24

Cet écrantage peut être retenu comme borne supérieure dans le logarithme coulombien, permettant le calcul d'une résistivité de DEBYE-HÜCKEL.