C.4.7 Distance d'écrantage de THOMAS-FERMI

L'écrantage de Thomas-Fermi consiste à calculer la distance d'écrantage du potentiel électrostatique du noyau par les électrons, mais en ne considérant que les électrons dont l'énergie est supérieure à l'énergie de Fermi^C.25. En effet, les électrons d'énergie inférieure à $E_F$ sont totalement délocalisés et occupent tous les niveaux d'énergie, formant la mer de Fermi^C.26. Le calcul de cette distance d'écrantage se fait de la même façon que le calcul de la longueur de Debye, mais en prenant comme statistique pour le nuage électronique l'approximation de Thomas-Fermi. Cette approximation consiste à supposer qu'un potentiel chimique local $\mu$ peut être défini en fonction de la densité électronique locale. Ce potentiel électrochimique est constant quel que soit le potentiel électrostatique externe ; c'est à dire que l'on a dans le cas d'absence de potentiel externe^C.27 :

$$\mu = E_F^0 = \frac{3}{5} \frac{\hbar^2}{2 m} {(3\pi^2n_0)}^{\frac{2}{3}}$$ (C.22)

Et dans le cas d'un potentiel $\Phi$ appliqué sur les électrons de charge $-e$ :

$$\mu = E_F + (-e \Phi)$$

Dans le cas où les potentiels varient lentement devant la longueur d'onde thermique de De Broglie d'un électron du niveau de Fermi, on peut faire l'approximation

$$\mu \approx \frac{3}{5} \frac{\hbar^2}{2 m} {(3\pi^2n)}^{\frac{2}{3}} - e \Phi$$

Donc on a :

$$\frac{3}{5} \frac{\hbar^2}{2 m} {(3\pi^2n)}^{\frac{2}{3}} ... ... \frac{3}{5} \frac{\hbar^2}{2 m} {(3\pi^2n_0)}^{\frac{2}{3}}$$

Par un développement limité, ceci s'écrit

$$\frac{d \, {E_F}}{d {n_0}} (n - n_0) = e \Phi$$

Or d'après l'équation (C.22), $\frac{d \, {E_F}}{d {n_0}} = \frac{2 E_F^0}{3 n_0}$, donc

$$n_e \approx n_0 \Biggl( 1 + \frac{3}{2} \frac{e \Phi}{E_F} \Biggr)$$ (C.23)

Cette équation joue le même rôle que la statistique de Boltzmann dans l'établissement de la longueur de Debye et signifie que le potentiel obéit à l'équation

$$\mathop{\nabla^2}(\overrightarrow{{\Phi}}) = - \frac{3}{2} \frac{n_0 e^2 }{\varepsilon E_F} \cdot \Phi$$

Une solution de cette équation peut s'écrire (en 1D) sous la forme $\Phi = \Phi_0 e^{- \frac{r}{\lambda_{TF}}}$ avec :

$$\lambda_{TF} = \sqrt{\frac{2 \varepsilon E_F}{3 n e^2}} \q... ... = \frac{3}{5} \frac{\hbar^2}{2 m} {(3\pi^2n)}^{\frac{2}{3}}$$ (C.24)

Cette expression de l'énergie de Fermi est valable pour un gaz d'électrons n'interagissant pas entre eux, de densité $n$ (gaz de Fermi)^C.28.

Notes

... Fermi^C.25

L'énergie de Fermi est l'énergie du dernier état occupé lorsque l'atome est au repos.

... Fermi^C.26

Ces électrons sont donc dans des conditions purement quantiques

... externe^C.27

Pour plus de précisions, se reporter à [59].

... Fermi)^C.28

Un gaz de Fermi est un gaz d'électrons libres, c'est à dire un gaz sur lequel aucune force n'est appliquée, et qui ne diffuse pas. Un tel gaz n'est retenu que par l'attraction des ions, donc le champ électrique moyen est supposé nul, sauf aux bornes.