1.3.1.3 Optimisation du courant injecté

Dans la description qui a suivi, le générateur alimentant le liner n'a pas été pris en compte: or ce générateur ne peut pas fournir une énergie infinie, et la compression de flux coûte de l'énergie au générateur primaire. En raisonnant en terme d'inductances $L$ et $L_f$ (figure 2.7), on a (conservation du flux):

$$I_{max} = \frac{L_0}{L_f} I_0$$ (1.1)

Or une intensité $I$ dans une inductance $L$ représente une énergie:

$$E = \frac{1}{2} L I^2$$

donc pour compresser tout le flux initial piégé dans le secondaire dans une inductance $L_f$, il faut apporter une énergie:

$$E_{compression} = \frac{1}{2} L_f I_{max}^2 - \frac{1}{2} L_0 I_0^2$$ (1.2)

$$= \frac{1}{2} \Bigl( \frac{L_0^2}{L_f} - L_0 \Bigr) \cdot I_0^2$$

Avec les équations (2.1) et (2.2), on obtient:

$$I_{max} = \sqrt{\frac{2 E_{compression}}{L_f - \frac{L_f^2}{L_0}}}$$

Afin de maximiser ce courant, il faut maximiser le flux initial injecté (d'après (2.1)) tout en ayant une énergie magnétique la plus faible possible contenue dans le volume initial (d'après (2.2)). Etant donné que l'on souhaite utiliser toute l'énergie disponible pour la compression (afin de comprimer le flux initial maximum), il faut $\Delta E_{magn\acute{e}tique} = E_{compression}$. Ceci peut s'écrire:

$$\begin{eqnarray*} L_0 I_0^2 & = & \mbox{minimum} \\ E_{compression} & = & \frac{1}{2} L_0 I_0^2 \Bigl( \frac{L_0}{L_f} -1 \Bigr) \end{eqnarray*}$$

Le point de fonctionnement optimum est alors atteint pour un courant injecté le plus faible possible (minimisation de $L_0 I_0^2$) dans une inductance initiale la plus grande possible (afin de conserver un flux injecté suffisamment grand). L'énergie $E_{compression}$ est une fraction de l'énergie fournie par le générateur au liner. Cette énergie dépend du couplage entre l'inductance variable représentée par le retour de courant primaire et le liner en mouvement et le générateur primaire. On peut donc considérer que pour une masse de liner et une géométrie donnée, cette énergie disponible pour la compression est constante. Si le coût énergétique de la compression du flux contenu dans une inductance $L_0$ vers une inductance $L_{souhait\acute{e}e}$ est supérieur à $E_{compression}$, la compression s'arrête à $L_f > L_{souhait\acute{e}e}$. Etant donné que le courant maximum est atteint pour une inductance minimum, il est nécessaire d'ajuster le courant initial injecté dans le secondaire pour obtenir $L_f = L_{souhait\acute{e}e}$ (en tenant compte éventuellement d'une inductance de pertes). Un dimensionnement peut alors se faire de la façon suivante:

• on se fixe une hauteur de l'inductance morte;
• on se fixe une hauteur de liner;
• on se fixe un rayon d'injection;
• on calcule le courant à injecter en fonction des inductances $L_0$ et $L_f$.

On obtient alors d'après les équations (2.1) et (2.2):

$$I_0 = \sqrt{\frac{2 E_{compression}}{\frac{L_0^2}{L_f} - L_0}}$$