1.3.1.2 Optimisation du couplage générateur/liner

Il s'agit de déterminer la meilleur façon de transmettre l'énergie du générateur électrique en énergie cinétique dans un pinch. En effet, la problématique est la même pour l'optimisation d'un pinch et d'un liner: dans les deux cas, il s'agit de maximiser l'énergie cinétique apportée au plasma à un certain rayon (rayon nul pour le pinch, rayon du barreau central pour le liner). Par contre, pour un liner il faut garder à l'esprit que le primaire apporte de l'énergie et que le secondaire en consomme ! Le liner `` profite '' au mieux de l'énergie électrique lorsqu'il se trouve à petit rayon: en effet, le champ magnétique étant en $1/r$, la pression magnétique devient d'autant plus forte que le rayon auquel elle s'applique est faible. Ceci signifie donc que l'optimum est atteint lorsque la puissance électrique est maximale au moment où le liner arrive à son plus petit rayon^1.8.

Figure: optimisation du couplage générateur/liner

Considérons le cas d'un générateur délivrant un signal totalement indépendant de la charge, en $\sin^2(t)$. La tension et le courant sont déphasés d'un temps $\tau$ et s'expriment:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathop{I}(t) & = & I_0 \si... ... & = & V_0 \sin^2(\omega (t + \tau)) \end{array} \right.$$

La puissance $\mathop{P}(t)=\mathop{I}(t) \cdot \mathop{V}(t)$ atteint son maximum pour $t_{opt.}$ tel que

$$\cos(\omega t) \sin(\omega (t+\tau)) + \sin(\omega t) \cos(\omega (t+\tau))=0$$

Etant donné que $\omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{\pi}{2 T_m}$ et que $\cos(T_m-\tau)=\cos(T_m+\tau)$, alors $t_{opt.} = T_m-\frac{\tau}{2}$. Il faut donc dimensionner la masse du liner (sauf si contrainte plus forte sur le temps de montée) de façon à ce que celui-ci impacte le barreau central à $t=T_m-\frac{\tau}{2}$, $T_m$ représentant le temps de montée de l'impulsion du générateur primaire et $\tau$ le déphasage temporel entre le courant et la tension. Dans le cas où la tension et le courant n'ont pas ces profils temporels idéaux, on peut recourir à un code numérique pour évaluer l'instant du maximum de la puissance électrique.

Notes

... rayon^1.8

Évidement, ceci reste valable quelque soit le profil temporel de cette puissance. Si son maximum n'est pas calculable analytiquement, on peut recourir à une simulation numérique par un code circuit.