E.1.1 Equations de Maxwell

Les équations de Maxwell s'écrivent sous leur forme générale:

$$\mathop{div}(\overrightarrow{{D}}) = \rho$$

$$\mathop{div}(\overrightarrow{{B}}) = 0$$

$$\mathop{\overrightarrow{rot}}(\overrightarrow{{E}}) = - \frac{d \, {\overrightarrow{B}}}{d {t}}$$ (E.1)

$$\mathop{\overrightarrow{rot}}(\overrightarrow{{H}}) = \overrightarrow{J} + \frac{d \, {\overrightarrow{D}}}{d {t}}$$ (E.2)

Nous nous plaçons dans le cas d'un matériau quelconque donc nous avons les relations^E.3:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{J_c} & = ... ... & \frac{1}{\mu} \overrightarrow{B} \end{array} \right.$$

D'après ceci et d'après (E.1) et (E.2) nous avons le système d'équations suivant:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathop{\overrightarrow{rot}}(... ...E} + \varepsilon \frac{d \, {E}}{d {dt}} \end{array} \right.$$

Si nous choisissons un repère cartésien orienté de façon convenable, nous pouvons écrire les champs $\overrightarrow{E}$ et $\overrightarrow{H}$ sous la forme:

$$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{E} & = & \mathop{\overrightarrow{E_x}}(z,t) \\ \overrightarrow{H} & = & \mathop{\overrightarrow{H_y}}(z,t) \end{eqnarray*}$$

Ceci ne réduit en rien la généralité du problème, dans le cas plan^E.4 car il n'est question que d'orientation du repère par rapport aux champs. Les équations de Maxwell (E.1) et (E.2) s'écrivent donc:

$$\frac{d \, {\overrightarrow{E_x}}}{d {z}} = -\mu \frac{d \, {\overrightarrow{H_y}}}{d {t}}$$ (E.3)

$$\frac{d \, {\overrightarrow{H_y}}}{d {z}} = -\sigma \overrightarrow{E_x} -\varepsilon \frac{d \, {\overrightarrow{E_x}}}{d {t}}$$ (E.4)

Notes

... relations^E.3

$\sigma$ étant la conductivité, $\varepsilon$ étant la permitivité magnétique et $\mu$ étant la perméabilitémagnétique du matériau

... plan^E.4

le raisonement suivant doit tout de même être transposable au cas cylindrique avec $\overrightarrow{E}= \mathop{\overrightarrow{E_r}}(z,t)$ et $\overrightarrow{H}=\mathop{\overrightarrow{H_\theta}}(z,t)$