1.3.1.5 Compression de $B_z$

Un champ magnétique $B_z$, appelé champ stabilisateur est parfois utilisé pour modérer le développement des instabilités (voir section 2.3.3.3 page ). La compression d'un tel champ ne suit pas la même dynamique que celle du champ $B_\theta$. Nous allons traiter le cas de la compression de $B_z$ par un liner contre un barreau central de rayon $\mathop{r_b(z)}$ connu, en faisant l'approximation $B_z = \mathop{\mathcal{F}}(z)$ (donc $B_z$ uniforme selon $r$) à l'intérieur du volume délimité par le liner. Nous avons donc:

$$\Phi_{z1} = \Phi_{z2} \quad \Rightarrow \quad B_0 \cdot \p... ... B_z \cdot \pi \cdot \Bigl( r^2 - \mathop{r_b}^2(z) \Bigr)$$

Ici, $r_0$ représente le rayon du liner au moment où le flux de $B_z$ se fait piéger, c'est à dire au moment de la formation de la coquille (qui permet alors l'existence du courant $I_\theta$). Il est alors possible d'en déduire le champ magnétique $B_z$ à tout instant à une hauteur $z$:

$$\mathop{B_z}(z) = B_0 \frac{{r_0}^2 - \mathop{r_b}^2(z)}{r^2 - \mathop{r_b}^2(z)}$$

Ceci signifie que l'énergie magnétique contenue dans une tranche de hauteur $dz$, le rayon du liner étant $r$ est :

$$\begin{eqnarray*} d \, E_{magn} & = & \int_{\mathcal{S}} \frac{\mathop{B_z}^2(... ...B_z}^2(z) \cdot \Bigl( r^2 - \mathop{r_b}^2(z) \Bigr) \cdot dz \end{eqnarray*}$$

Il est donc possible de calculer le coût énergétique de la compression de $B_z$ à un rayon donné, connaissant le rayon du barreau en fonction de $z$, $\mathop{r_b}(z)$:

$$\int_0^H d \, E_{magn} \, dz = \frac{\pi}{2 \mu_0} \cdot {... ...athop{r_b}^2(z) \Bigr)}^2}{r^2 - \mathop{r_b}^2(z)} \, dz$$

L'énergie que l'on va consommer pour compresser le flux de $B_z$ d'un rayon $r_0$ à un rayon $r$ est donc:

$$\Delta E_{magn} = \frac{\pi}{2 \mu_0} \cdot {B_0}^2 \Biggl... ..._0^H \Bigl( {r_0}^2 - \mathop{r_b}^2(z) \Bigr) \, dz \Biggr)$$

Dans le cas d'un barreau cylindrique de rayon $\mathop{r_b}(z) = r_b$, la compression de $B_z$ consomme alors

$$\Delta E_{magn} = \frac{\pi}{2 \mu_0} \cdot {B_0}^2 \cdot ... ...Biggl( \frac{{r_0}^2 - {r_b}^2} {r^2 - {r_b}^2} -1 \Biggr)$$

Dans un cas de compression de flux classique (dimensions de z591 ), avec un courant secondaire au moment du crowbar de $4.85 \, \mathrm{MA}$, à un rayon $4 \, \mathrm{cm}$ avec une hauteur de liner de $6.6 \, \mathrm{cm}$, et un $B_z = 2.5 \, \mathrm{T}$, l'énergie consommée par la compression du $B_\theta$ reste toujours très largement supérieure à celle consommée par la compression du $B_z$ (courbe 2.9).

Figure: comparaison des énergies magnétiques contenues dans les champs $B_\theta$ et $B_z$ lors de la compression de flux sur Z , en fonction du rayon du liner