E.1.3.1 Calcul du vecteur d'onde

Nous pouvons donc chercher $k$ d'après (E.5) en identifiant $\mathop{\mathcal{R}e}(k)$ et $\mathop{\mathcal{I}m}(k)$ avec les parties réelles et imaginaires de $Z^2$ tel que $Z=a+ib$:

$$\begin{eqnarray*} (a^2-b^2) & = & \mu \omega^2 \varepsilon \\ 2ab & = & \mu \omega \sigma \end{eqnarray*}$$

Ceci permet d'extraire $a = \frac{\mu \omega \sigma}{2b}$ donc^E.5

$$\frac{\mu^2 \omega^2 \sigma^2}{4b^2}-b^2 = \mu \omega^2 \va... ... + 4\mu \omega^2 \varepsilon b^2 -\mu^2 \omega^2 \sigma^2 = 0$$

$$\Rightarrow \quad \Delta = 16 \mu^2 \omega^2 (\omega^2 \varepsilon^2 +\sigma^2)$$

Puisque $b$ est réel, on en déduit

$$\begin{eqnarray*} b & = & \pm \sqrt{\frac{-\mu \omega^2 \varepsilon + \mu \omeg... ...epsilon + \mu \omega \sqrt{\omega^2 \varepsilon^2 +\sigma^2})}} \end{eqnarray*}$$

Or $k=a+ib$ donc $\overrightarrow{E_x} = \overrightarrow{E_{x0}} \cdot e^{i(az+ibz-wt)} = \overrightarrow{E_{x0}} \cdot e^{-bz} \cdot e^{i(az-wt)}$. Le terme $e^{-bz}$ représente soit un amortissement, soit une amplification, selon le signe de $b$. Dans le cas de cette propagation, il ne peut s'agir que d'un amortissement sur une distance $\delta = \frac{1}{b}$. D'ou

$$k = \frac{\mu \omega \sigma}{\sqrt{2(-\mu \omega^2 \varepsilon + \mu ... ... \omega^2 \varepsilon + \mu \omega \sqrt{\omega^2 \varepsilon^2 +\sigma^2}}{2}}$$ (E.6)

$$\delta = \sqrt{\frac{2}{-\mu \omega^2 \varepsilon + \mu \omega \sqrt{\omega^2 \varepsilon^2 +\sigma^2}}}$$ (E.7)

Cette distance^E.6 $\delta = \frac{1}{b}$ représente donc la distance au bout de laquelle l'amplitude du champ s'est amortie de $e$. La définition que l'on utilisera par la suite sera donc:

Définition 1 (épaisseur de peau)   L'épaisseur de peau est la distance au bout de laquelle l'amplitude initiale du champ est divisée par $e$; soit

$$\mathop{H}(\delta,t) = \mathop{H}(0,t) \cdot e^{-1}$$

Notes

... donc^E.5

A ce niveau, dans le cas d'un bon conducteur, on peut faire l'approximation $\frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \gg 1$

... distance^E.6

Pour un bon conducteur, $\frac{\sigma}{\omega \varepsilon} \gg 1$ donc $\delta = \sqrt{\frac{2}{\mu \omega \sigma}}$