E.3.2.2 Calcul du champ diffusé en un point $x$ de l'espace et à un temps $t$

La seule difficulté réside dans le calcul de l'intégrale. Afin de ne pas avoir de problèmes en $(0,t)$, la première contribution est issue d'une formule analytique (en effet, $\mathop{f}(\tau_0)$ est simplifiable et évite ainsi une forme indéterminée qui numériquement aurait produit des instabilités). Le premier pas d'échantillonnage en $\tau$ est imposé à $e^{-\tau^2}*\mathtt{PETIT\_REL}$ où $\mathtt{PETIT\_REL}$ représente un nombre petit. Ceci permet de se fixer un pas d'échantillonnage initial caractéristique de l'échelle du problème. Ensuite, les contributions successives sont ajoutées, à la condition que ces contributions soient suffisamment faibles par rapport à la somme partielle en cours de calcul. Dans le cas contraire, le pas d'échantillonnage est divisé par deux et le calcul recommence (si ces contributions sont au contraire trop faibles, le pas est multiplié par deux). Afin de conserver un temps de calcul raisonnable, le pas de temps ne peut descendre en dessous d'une valeur minimum. L'ajout à la somme partielle est ensuite fait, via une intégration par la méthode des trapèzes. La somme est considérée comme ayant convergée lorsque ces ajouts sont suffisamment faibles devant la somme calculée.