1.2.1 Démonstration de la conservation du flux

Figure: conservation du flux magnétique

Soit $\mathcal{C}$ un contour parfaitement conducteur et $\mathcal{S}$ une surface s'appuyant sur ce contour. Dans cette surface, il existe un flux magnétique $\Phi$ créé par la présence d'un champ magnétique $\overrightarrow{B}$ tel que

$$\Phi = \int \!\!\!\! \int_{\mathcal{S}} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dS}$$

Ceci signifie que

$$\frac{\partial \, {\Phi}}{\partial {t}} = \frac{\partial}{\... ...nt_{\mathcal{S}} \overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dS}$$

D'où:

$$\frac{\partial \, {\Phi}}{\partial {t}} = \int \!\!\!\! \in... ...{\overrightarrow{B}}}{\partial {t}} \cdot \overrightarrow{dS}$$

Ensuite, d'après les équations de Maxwell, on a $\mathop{\overrightarrow{rot}}(\overrightarrow{{E}})=-\frac{\partial \, {\overrightarrow{B}}}{\partial {t}}$, et d'après les propriétés du rotationnel:

$$\int \!\!\!\! \int_{\mathcal{S}}\mathop{\overrightarrow{rot... ...nt_{\mathcal{C}} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dl}$$

Puisque $\mathcal{C}$ est un contour conducteur idéal, alors $\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{E} \cdot \overrightarrow{dl}=0$; ceci permet d'établir que

$$\int \!\!\!\! \int_{\mathcal{S}}\mathop{\overrightarrow{rot... ...\overrightarrow{B}}}{\partial {t}} \cdot \overrightarrow{dS}$$

Enfin, cela signifie que

$$\frac{\partial \, {\Phi}}{\partial {t}} = 0$$

dans la surface $\mathcal{S}$ s'appuyant sur un contour $\mathcal{C}$ conducteur idéal. Le flux magnétique est donc conservé dans une surface délimitée par un conducteur.